从相关渠道了解到，(后文中字符串下标默认从0开始) 科技新闻。
\(Manacher\) 算法，又称为马拉车算法，是一种求解回文字串问题的算法，它可以在 \(O(n)\) 的时间内求出每个位置的最长回文半径
所以我们就可以用左子串贡献右子串的方式
Z函背景与起因
这里直接讲解 \(o(n)\) 解法
到达上界之后就不会再进行暴力扩展的操作，所以总时间复杂度也是 \(O(n)\)
那么对于我们当前要求解的 \(i\) ，如果有 \(i < r\) ，那么我们可以得到 \(z[i] = z[i - l]\)
Z函事件经过
Z函数也可以认为是Z数组，即定义数组 \(z[i]\) 透露字符串 \(s\) 与其中以 \(s[i]\) 为开头的最长公共前缀
若 \(i >= r\) ，则我么无法快速求出 \(z[i]\) ，这时暴力求出 \(z[i]\) 即可
假设此时 \(z[0 ...i - 1]\) 已经全部求解完成，我们得到这其中影响范围最右的 \(z[j]\) ，并定义 \(r = j + z[j] - 1,l = j\)
Z函各方回应
我们注意到 \(z\) 数组是能像 \(kmp\) 中的 \(next\) 数组一致可重复贡献的
到这里，阅读完上面Z函数之后可能就已经发现，\(Manacher\) 算法本质与Z函数相同
根据我们上面的发现，区间 \([l, r]\) 与区间 \([0,l - 1]\) 是等价的
Z函影响分析
定义 \(p[i]\) 表示在字符串 \(s\) 当中，以 \(i\) 为中心点的最长回文半径
所以我们在计算 \(z[i]\) 时应当注意上界，即 \(z[i] = min(z[i - 1],r - i + 1)\)
我们可以分析 \(r\) 来证明时间复杂度
对于当前要求解的 \(i\) ，若 \(r > i\) ，则 \(p[i] = min(2 * c - i,r - i + 1)\) 这里取 \(min\) 是为了防止跳出范围
注意到 \(s[0...z[i] - 1]\) 与 \(s[i...i + z[i] - 1]\) 是等价的，所以在此范围内，\(z\) 数组也是等价的
设 \(r = max(j +p[j] - 1), c = j\)
所以我们就有了结论，即左右字串的 \(p[i]\) 在此范围内是等价的
我们注意到回文串性质是左串翻转后等于右串，并且又因为我们考虑的是回文串，所以我们并不在意子串顺序
那么我们就可以考虑利用左边贡献右边的方式
否则暴力求解 \(p[i]\) ，之后不断更新 \(r, c\) 即可
形式化的说，即 \(z[i]\) 表示为最大的 \(z[i]\) 满足 \(s[0 ...z[i] - 1] = s[i...i + z[i] - 1]\)
在这里，我们只考虑计算奇数长度的回文串，因为偶数长度的回文串我们可以通过添加间隔符来变成奇数长度
但注意，上面的等价性质是仅在此范围内成立的，所以如果 \(z[i - l] + i > r\) 则我们无法保证其还是等价的
首先 \(r\) 是单调的，且 \(r\) 的上界为 \(n\) ，并且由于 \(i\) 单调递增且固定 $ +1$ ，而 \(r\) 又一定大于等于 \(i\) ，所以 \(r\) 会在 \(O(n)\) 的时间内到达上界
仅仅是在贡献内容上有区别，所以代码也基本一致，故时间复杂度证明也不再赘述
